受験の役に立たない（と思う）数学シリーズ

7×7の魔方陣

汎魔方陣

７は奇数ですから５×５で書いた作成方法で通常の魔方陣を作成できます。ところで７ｘ７の汎魔方陣は存在するのでしょうか？実は存在します。

0	36	23	10	46	33	20
12	48	28	15	2	38	25
17	4	40	27	7	43	30
22	9	45	32	19	6	35
34	14	1	37	24	11	47
39	26	13	42	29	16	3
44	31	18	5	41	21	8

さてこれはどうやって作成したのでしょうか？実は３の倍数でない奇数の魔方陣は以下の方法で汎魔方陣を作成することが可能です。（ちなみに５ｘ５でもこのやり方で作成しております）
このやり方は自分で発見しました。

まず、図１のような補助魔方陣を作成します。

1) 一番上の行に0～n-1まで書き入れます。
2) その下の行は横に２だけずらして書き入れます
3) 2)を繰り返して補助魔方陣を作成します。

次に図１を対角で折り返し（転置）、別な補助魔方陣を作成します。(図２）

0 1 2 3 ... n-2 n-1

n-2 n-1 0 1 ... n-4 n-3

n-4 n-3 n-2 n-1 ... n-6 n-5

n-6 n-5 n-4 n-3 ... n-8 n-7

... ... ... ...

4 5 6 7 ... 2 3

2 3 4 5 ... 0 1

図1

0 n-2 n-4 n-6 ... 4 2

1 n-1 n-3 n-5 ... 5 3

2 0 n-2 n-4 ... 6 4

3 1 n-1 n-3 ... 7 5

... ... ... ...

n-2 n-4 n-6 n-8 ... 2 0

n-1 n-3 n-5 n-7 ... 3 1

図2

図1の行列をＡ、図2の行列をＢ=^tAとすると

Ｘ＝Ａ＋n×Ｂは魔方陣となります。また汎魔方陣となります。証明はそんなに難しくないんで、自分でやってみてください。上記手法で作成した１３ｘ１３の汎魔方陣です。

0 144 119 94 69 44 19 163 138 113 88 63 38

24 168 130 105 80 55 30 5 149 124 99 74 49

35 10 154 129 91 66 41 16 160 135 110 85 60

46 21 165 140 115 90 52 27 2 146 121 96 71

57 32 7 151 126 101 76 51 13 157 132 107 82

68 43 18 162 137 112 87 62 37 12 143 118 93

79 54 29 4 148 123 98 73 48 23 167 142 104

103 65 40 15 159 134 109 84 59 34 9 153 128

114 89 64 26 1 145 120 95 70 45 20 164 139

125 100 75 50 25 156 131 106 81 56 31 6 150

136 111 86 61 36 11 155 117 92 67 42 17 161

147 122 97 72 47 22 166 141 116 78 53 28 3

158 133 108 83 58 33 8 152 127 102 77 39 14

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By Issei

0	36	23	10	46	33	20
12	48	28	15	2	38	25
17	4	40	27	7	43	30
22	9	45	32	19	6	35
34	14	1	37	24	11	47
39	26	13	42	29	16	3
44	31	18	5	41	21	8

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57	32	7	151	126	101	76	51	13	157	132	107	82
68	43	18	162	137	112	87	62	37	12	143	118	93
79	54	29	4	148	123	98	73	48	23	167	142	104
103	65	40	15	159	134	109	84	59	34	9	153	128
114	89	64	26	1	145	120	95	70	45	20	164	139
125	100	75	50	25	156	131	106	81	56	31	6	150
136	111	86	61	36	11	155	117	92	67	42	17	161
147	122	97	72	47	22	166	141	116	78	53	28	3
158	133	108	83	58	33	8	152	127	102	77	39	14

0	36	23	10	46	33	20
12	48	28	15	2	38	25
17	4	40	27	7	43	30
22	9	45	32	19	6	35
34	14	1	37	24	11	47
39	26	13	42	29	16	3
44	31	18	5	41	21	8

0	144	119	94	69	44	19	163	138	113	88	63	38
24	168	130	105	80	55	30	5	149	124	99	74	49
35	10	154	129	91	66	41	16	160	135	110	85	60
46	21	165	140	115	90	52	27	2	146	121	96	71
57	32	7	151	126	101	76	51	13	157	132	107	82
68	43	18	162	137	112	87	62	37	12	143	118	93
79	54	29	4	148	123	98	73	48	23	167	142	104
103	65	40	15	159	134	109	84	59	34	9	153	128
114	89	64	26	1	145	120	95	70	45	20	164	139
125	100	75	50	25	156	131	106	81	56	31	6	150
136	111	86	61	36	11	155	117	92	67	42	17	161
147	122	97	72	47	22	166	141	116	78	53	28	3
158	133	108	83	58	33	8	152	127	102	77	39	14

0	36	23	10	46	33	20
12	48	28	15	2	38	25
17	4	40	27	7	43	30
22	9	45	32	19	6	35
34	14	1	37	24	11	47
39	26	13	42	29	16	3
44	31	18	5	41	21	8

0	144	119	94	69	44	19	163	138	113	88	63	38
24	168	130	105	80	55	30	5	149	124	99	74	49
35	10	154	129	91	66	41	16	160	135	110	85	60
46	21	165	140	115	90	52	27	2	146	121	96	71
57	32	7	151	126	101	76	51	13	157	132	107	82
68	43	18	162	137	112	87	62	37	12	143	118	93
79	54	29	4	148	123	98	73	48	23	167	142	104
103	65	40	15	159	134	109	84	59	34	9	153	128
114	89	64	26	1	145	120	95	70	45	20	164	139
125	100	75	50	25	156	131	106	81	56	31	6	150
136	111	86	61	36	11	155	117	92	67	42	17	161
147	122	97	72	47	22	166	141	116	78	53	28	3
158	133	108	83	58	33	8	152	127	102	77	39	14