受験の役に立たない(と思う)数学シリーズ
 

8×8の魔方陣

魔方陣の作り方

いくつか方法があるようで、4×4の魔方陣から作るのが一般的な模様です。 ここではAlret氏が紹介している作成方法を紹介します。まず下図のような8x8の補助魔方陣を作成します。
 
0 0 3 3 1 1 2 2
0 0 3 3 1 1 2 2
0 0 3 3 1 1 2 2
3 3 0 0 2 2 1 1
3 3 0 0 2 2 1 1
3 3 0 0 2 2 1 1
3 3 0 0 2 2 1 1
図1

次に4x4の魔方陣、例えば
 
12 2 15 1
7 9 4 10
0 14 3 13
11 5 8 6
図2

を4つ重ねて
12 2 15 1 12 2 15 1
7 9 4 10 7 9 4 10
0 14 3 13 0 14 3 13
11 5 8 6 11 5 8 6
12 2 15 1 12 2 15 1
7 9 4 10 7 9 4 10
0 14 3 13 0 14 3 13
11 5 8 6 11 5 8 6
図3

という魔方陣を作ります。この魔方陣に図1の魔方陣を16回足すと
 
12 2 63 49 28 18 47 33
7 9 52 58 23 25 36 42
0 14 51 61 16 30 35 45
11 5 56 54 27 21 40 38
60 50 15 1 44 34 31 17
55 57 4 10 39 41 20 26
48 62 3 13 32 46 19 29
59 53 8 6 43 37 24 22
図4

という魔方陣になります。この方法のよいところは、4の倍数の魔方陣全てに適用可能というもので、たとえば12x12なら、6x6の魔方陣と下図の補助魔方陣を容易するだけで実現できます。
 
0 0 0 3 3 3 1 1 1 2 2
2
0 0 0 3 3 3 1 1 1 2 2 2
0 0 0 3 3 3 1 1 1 2 2 2
0 0 0 3 3 3 1 1 1 2 2 2
0 0 0 3 3 3 1 1 1 2 2 2
3 3 3 0 0 0 2 2 2 1 1 1
3 3 3 0 0 0 2 2 2 1 1 1
3 3 3 0 0 0 2 2 2 1 1 1
3 3 3 0 0 0 2 2 2 1 1 1
3 3 3 0 0 0 2 2 2 1 1 1
3 3 3 0 0 0 2 2 2 1 1 1
図5

では4の倍数でない魔方陣(4N+2型)はどうすればよいのかと言うと、
 
3 3 0 0 0 2 2 2 2 1
3 3 0 0 0 2 2 2 2 1
0 3 3 0 0 2 2 2 2 1
3 3 0 0 0 2 2 2 2 1
3 3 0 0 0 2 2 2 2 1
0 0 3 3 3 1 1 1 1 2
0 0 3 3 3 1 1 1 1 2
3 0 0 3 3 1 1 1 1 2
0 0 3 3 3 1 1 1 1 2
図6

というような魔方陣を使用すればよいらしいです。これで4N型と4N+2型の作成方法がわかったので全ての偶数サイズの魔方陣が作成できることがわかります。


8x8の汎魔方陣

図1の魔方陣は汎魔方陣ではないので、タネの4x4魔方陣が汎魔方陣でも、出来あがった8x8の魔方陣は汎魔方陣になりません。もし8x8の補助魔方陣として汎魔方陣を用意できれば、8x8の汎魔方陣が出来ることになります。そういうものはあるのでしょうか?発見しました。
 
0 2 3 1 2 3 1 0
3 1 0 2 1 0 2 3
0 2 3 1 2 3 1 0
3 1 0 2 1 0 2 3
2 3 1 0 0 2 3 1
1 0 2 3 3 1 0 2
2 3 1 0 0 2 3 1

とすると確かに汎魔方陣となります。ちなみに、どうやって、これを作ったかというと、最初に
 
0 2 3 1
3 1 0 2
0 2 3 1

という汎魔方陣を用意し、これを上手く汎魔方陣になるようシフトして、それを4つ貼り付けました。どういう具合にシフトしたのかは見ればわかると思います。そしてこれを用いて以下のような8x8の汎魔方陣を作成することができました。

ただし、これは8x8にしか使えません。
 
12 34 63 17 44 50 31
55 25 4 42 23 9 36 58
0 46 51 29 32 62 19 13
59 21 8 38 27 5 40 54
28 2 47 49 60 18 15 33
39 57 20 10 7 41 52 26
16 14 35 61 48 30 3 45
43 53 24 6 11 37 56 22 

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