受験の役に立たない（と思う）数学シリーズ
 

４×４の魔方陣


４×４の魔方陣は880種類あります。回転、鏡像も含めると全部で7040パターンです。詳しくはMagic Squareに書いてますので、ここでは別の視点から分析してみたいと思います。

仲の悪い数

「１」と「２」、「１５」と「１６」が左右に隣り合うように置かれるパターンは7040パターン中、48種類しかありません。
 
1 2 15 16
13 14 3 4
12 7 10 5
8 11 6 9

すごく仲の悪い数

「７」と「８」、「９」と「１０」は決して隣り合いません。斜めになら隣り合いますが。7/8生まれ、10/9生まれの人は自分の誕生日の４×４の魔方陣を作ることが出来ません。あきらめてください。(笑)
ちなみに、私は12/12生まれなのでもっとトホホです。

四隅の和、中央の和

どんな４×４の魔方陣でも必ず四隅と中央の和が３４になります。ということは外周にある隅でない向かい合った２つの陣（ずのピンクと紫のところ）の和も３４になります。（簡単な計算で求まります）
 
12 5 14 3
8 9 2 15
1 16 7 10
13 4 11 6

これを証明してみます。（ちょっと悩みましたが、冷静に考えたら簡単でした）

2本の斜めの合計の和は３４×２＝６８ですから、下図の色を塗った部分の和は６８になります。となると、緑の合計とピンクの合計が等しいことを証明すれば、それぞれの色を塗った部分の合計が３４であることが証明できます。それには次のようにします。
 
       
       
       
       
図１
 
       
       
       
       
U

-
       
       
       
       
Ｖ

-
       
       
       
       
W

+
       
       
       
       
X

=
       
       
       
       
Y

とすると、U-V-Wは魔方陣の性質から０となるので、X=Yとなり、図１の緑に塗られた部分とピンクに塗られた部分の合計は等しいことがわかります。よって緑の合計、ピンクの合計は３４となります。これは全ての4×４の魔方陣に言えることです。

正方形の和

図２に示す同じ色の正方形の数字の和は等しくなります。（辺を乗りこえた正方形もです）

あくまで等しくなるだけで３４になることは保証されていません。ちなみに、全体の半分の４×４の魔方陣が正方形の和が３４になります。和の幅は22〜46までの幅があるようです。和が22になるパターンと２３になるパターンが珍しく、それぞれ880パターン中、４パターンしかありません。
 
12 2 15 5
1  7  10 16
13 11 6 4
8  14 3 9
12 2 15 5
1  7  10 16
13 11 6 4
8  14 3 9
12 2 15 5
1  7  10 16
13 11 6 4
8  14 3 9
図２

これの証明も簡単です。
 
       
       
       
       
Ｕ

-
       
       
       
       
Ｖ

-
       
       
       
       
Ｗ

+
       
       
       
       
X

=
       
       
       
       
Y

四隅のとき同様、U-V-Wは０となるのでX=Yとなり、図２のピンクに塗られた部分の正方形の和はどちらも等しくなります。緑に関しても同様です。これはもっと大きなサイズの（偶数サイズの）魔方陣にも適用できる一般法則です。

汎魔方陣


あらゆる正方形の和が３４になり、あらゆる斜めの和が３４になるものを汎魔方陣と呼びます。
辺を乗り越えての正方形の和や１つ飛びの正方形の和も３４にならなければなりません。
Magic Squareでは６４と書いてますが、私が探したら対称、回転を除いて４８種しかありませんでした。

またあらゆる斜めの和が等しいので、適当な列を取って反対側にまわしてやれば、汎魔方陣が量産できるということになります。縦に４パターン、横に４パターン作成できますので、１つの汎魔方陣から１６の汎魔方陣が作成できることになります。

すなわち、汎魔方陣は４８種類ありますが、実質は３種類ということになります。一例を下図に示します。
 
13 3 16 2
8 10 5 11
1 15 4 14
12 6 9 7
(1)
13 3 16 2
8 10 5 11
1 15 4 14
12 6 9 7
(2)
13 3 16 2
8 10 5 11
1 15 4 14
12 6 9 7
(3)
13 3 16 2
8 10 5 11
1 15 4 14
12 6 9 7
(4)
13 3 16 2
8 10 5 11
1 15 4 14
12 6 9 7
(5)
13 3 16 2
8 10 5 11
1 15 4 14
12 6 9 7
(6)

ちなみに斜めのラインの完全性（合計が３４）さえ成立すれば、すなわち(5)と(6)が成立すれば、
汎魔方陣になります。(1),(2),(4)については視覚的にわかりやすい証明は
できたのですが、(3)についてはできませんでした。
なお、実際には（５）または（６）のどちらかが成立すれば汎魔方陣になります。なぜなら
 
 
A B C D
E F G H
I J K L
M N O P

もし（５）が成立するなら色の着いた陣の合計は６８になります。
ということは色が着いていない（白い）陣の合計も６８です。
一方（D+G+J+M）は３４ですから、残りの（B+E+L+O)も３４になります。
同様に考えると（C+F+I+P)や（A+H+K+N)も３４になり結局（６）が成立します。

次に（１）から（４）が成立することを示します。

(1)の証明
(A+B+E+F) + (K+L+O+P) =
(A+F+K+P) + (B+E+L+O) = 68
一方
(A+B+E+F) + (K+L+O+P)だから
(A+B+E+F) = 34
    (C+D+G+H)および(I+J+M+N)についても同様

(2)の証明
(E+F+I+J) + (C+D+O+P) =
(D+E+J+O) + (C+E+I+P) = 68
一方
(E+F+I+J) = (C+D+O+P)だから
(E+F+I+J) = 34
    (A+B+M+N)および(G+H+K+L)についても同様

(4)の証明
    略

つまり図２に示す正方形の和は汎魔方陣ではどれも３４になります。

(3)の証明
A+C+I+K
= A+(34-(F+G+J))+C+I
= 34+A-F-(G+J)+(C+I)
= 34+A-F-(34-(D+M))+(C+I)
= A-F+(D+M)+(C+I)
= A-F+(C+D)+(I+M)
= A-F+(34-(A+E))+(34-(A+B))
= A-F-(A+E)-(A+B)
= 68-(A+E+F+B) = 34

（B+D+J+L）、（E+G+M+O)、（F+H+N+P)についても同様

また(A+K)、（C+I)は汎魔方陣では必ず１７になります。なぜなら
 
       
       
       
       
U

-
       
       
       
       
V

+
    C  
       
I      
       
X

=
A      
       
    K  
       
Y

となり(U-V)は０ですので X=Yとなります。よって、（A+K)=(C+I)です。
ところが、(A+K+C+I) = 34ですから、(A+K) = (C+I) = 17となります。同様に考えると

汎魔方陣では
A+K = B+L = C+I = D+J = E+O = F+P = G+M = H+N = 17
が成立することがわかります。

もっと正確に言うと

魔方陣でかつ A+K = B+L = C+I = D+J = E+O = F+P = G+M = H+N = 17であることは魔方陣が汎魔方陣であるための必要十分条件であるといえます。
 
 

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