3×3の魔方陣

魔方陣とは適当なサイズの正方形のマス（方陣）に数字を配置し、縦、横、斜めどの線に沿って足してもその合計が同じような方陣のことを言います。
（ちなみに、おさげの女の子が活躍するコミックは「魔法陣」です。ご注意あれ）

例えば３×３ですと
 

8	1	6
3	5	7
4	9	2

となります。このように普通は１から連続したN＾²個の数（この場合1から９）を使うのが一般的ですが、素数だけから成る魔方陣なども研究されています。ところで３×３の連続した数字を使った魔方陣は（回転、鏡像をのぞいて）この一種類しか存在しないのです。ここではそれを証明したいと思います。

まず、３×３の魔方陣の各列、行、斜めの合計は必ず１５になります。なぜなら
 

図の色分けされた行の合計は等しくならないといけません。1から９まで合計すると合計は４５です。よって各列、行、斜めの合計は４５を３で割った値、１５にならなければいけません。これはどんなサイズの魔方陣にでも言えることで、４×４なら３４、５×５なら６５、６×６なら１１１になります。

次に、魔方陣の中央に注目します。ここは縦、横、斜めあわせて４つのラインが並ぶところです。
 

中央に「１」が入ることはあるでしょうか？

各ラインの合計は１５ですからもし「１」をいれるとすると残りの２つ数字で合計を１４にしなくてはいけません。１４にする組み合わせは「９＋５」「８＋６」の二種類しかありえませんから、中央に「１」を入れると合計が１５となる４つのラインを作ることが出来ません。

では「２」は置けるでしょうか？
「２」を入れる場合残りの数字で合計を１３にしなくてはいけません。１３にする組み合わせは「９＋４」「８＋５」「７＋６」の三種類しかありませんから、中央に「２」をいれることはできません。

同様に考えると中央に置ける数字は「４」、「５」、「６」の３種類しかないことがわかります。

次に四隅に注目します。ここは縦、横、斜めあわせて３つのラインが並ぶところです。
ここに「１」が入ることはあるでしょうか？先ほどの考察からここに「１」を入れると二種類しかラインを作れないのでここに「１」が入ることはありえません。

ということは「１」は隅には置けず。図の紫のところ以外置けないことがわかります。
同様に「９」も隅に置くことは出来ません。方陣は対称ですから「１」はどこにおいてもよいのでとりあえず、一番上のラインに置きます。
 

	１

さてこの状態で中央に「４」を置けるでしょうか？置けません。なぜなら合計が１５にならなければいけないのに、「４」を置いてしまうとその下に「１０」を置かないといけなくなるからです。同様に「６」も置くことが出来ません。「６」を置いてしまうと「９」とのラインで「０」を置かないといけなくなるからです。

ということは中央は「５」以外ありえません。となると「１」「５」「９」のラインが確定します。
 

	１
	５
	９

「１」を含むラインは「１＋５＋９」と「１＋６＋８」の二種類しかありませんので、一番上のラインは「６＋８」です。方陣は対称ですからとりあえず左に「８」、右に「６」を入れます。
 

８	１	６
	５
	９

すると、残りの方陣の数字が決まります。
 

８	１	６
３	５	７
４	９	２

たしかに上の方陣は魔方陣になっています。またこれ以外の魔方陣は存在しえないこともわかります。

なお魔方陣が一種類しかないのは３×３の場合だけです。一般に高次の魔方陣では数種類ものがあります。また、サイズが奇数の魔方陣はとあるルールで簡単に作成することができます。それについてはいずれまた。

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